Filho de Adelino da Costa e Silva, proprietário agrícola, e de Adelaide Rosa Varzim da Cunha e Silva, professora primária, Abel Varzim da Cunha e Silva nasceu a 29 de abril de 1902 na Quinta dos Bragas, freguesia de Cristelo, concelho de Barcelos. Em 1912 concluiu a instrução primária, tendo frequentado o Liceu Nacional da Póvoa de Varzim até 1916. Nesse ano entrou no Seminário Menor de Braga e em 1921 no Seminário Conciliar de Braga, onde frequentou o Curso Teológico. Foi ordenado padre em 1925 pelo Arcebispo de Braga, D. Manuel Vieira de Matos.
Por solicitação do Bispo de Beja, D. José do Patrocínio Dias, foi transferido, ainda em 1925, para a Diocese de Beja, sendo colocado no Seminário Menor de Serpa, como professor e prefeito do seminário. Aí lançou a Legião Fulminante para distribuição de revistas e jornais à população e fundou o Agrupamento n.º 38 do Corpo Nacional de Scouts.
Em 1930 deu início ao doutoramento em Ciências Políticas e Sociais na Universidade de Lovaina, Bélgica. Foi nomeado correspondente do jornal Novidades - diário oficioso da Igreja Católica, publicado em Lisboa - a convite do chefe de redação, Monsenhor Lopes da Cruz, mantendo colunas regulares: Cartas da Bélgica, Acção Católica e Vida Social Católica. A permanência na Bélgica permite-lhe contactar figuras marcantes do universo católico, como Joseph Cardijn, e observar iniciativas do movimento e das organizações católicas de universitários e operários. Após a conclusão da tese de doutoramento, com o título Le Boerenbond Belge. L'oeuvre du relèvement et de la grandeur de la classe agricole d'un pays, em 1934, regressou a Portugal, radicando-se em Lisboa.
Em 1933, com o P. Manuel Rocha, estudante em Lovaina, contribuiu para a conceção e o lançamento da Acção Católica Portuguesa (ACP). A ACP enquanto modelo de mobilização dos católicos, a doutrina social da Igreja, a organização do trabalho e da economia e a situação dos trabalhadores constituíram áreas privilegiadas de atuação de Abel Varzim ao longo dos anos 1930 e 1940.
Em 1934 iniciou funções como chefe de redação do recém-fundado jornal quinzenal O Trabalhador, sob a direção de Manuel d'Anunciada Soares. Em 1946 o jornal seria suspenso, sendo retomada uma 2.ª série em 1948, com periodicidade semanal, sob a direção de António Cerejo. Neste período Abel Varzim, para além de publicar textos com regularidade, era o diretor do Conselho de Redação, o qual era composto também por Edmundo Costa, Carlos Branco e Manuel Alpiarça.
Em 1936 foi nomeado assistente geral da Liga Operária Católica (LOC), para cujo lançamento contribuiu decisivamente. Participou, juntamente com operários cristãos, na Cooperativa Popular de Portugal, entre os anos de 1935 e 1947. Diretor do Secretariado Económico-Social da Acção Católica Portuguesa (1939-1948), exerceu também funções como assistente do Centro de Estudos de Acção Social para Universitários (1941-1945), criado junto da mesma entidade.
Foi professor de Encíclicas Sociais, Encíclicas Familiares e Economia Política no Instituto de Serviço Social de Lisboa (1938-1948). Promoveu, entre outras actividades, um curso intensivo para militantes operários cristãos, em 1940, a Festa do Trabalho, no Porto, em 1941, a I Peregrinação Nacional Operária a Fátima, em 1943. Em 1942 traduziu para português a obra de Louis Colens, A Formação dos Dirigentes de Obras Sociais. Participa na 2.ª Semana Social Portuguesa com uma conferência sobre o trabalho e em 1950 promoveu o I Congresso dos Homens Católicos, em Lisboa.
Nas décadas de 1930 e 1950, Abel Varzim manteve várias participações regulares na imprensa. Escreveu no jornal Novidades uma coluna intitulada Impressões de França (1946). Destacam-se ainda os seus textos no Jornal de Notícias, onde manteve uma coluna regular (1942-1947), na revista Lumen (1937 e 1950), onde, aliás, foi chefe de Redação (1948-1950), e no Boletim Oficial da Acção Católica Portuguesa (1948-1950).
Em 1938 foi eleito deputado à Assembleia Nacional, na lista da União Nacional, sem que, cumprida a legislatura, visse o seu mandato renovado para o período subsequente, em 1942. As suas intervenções, incluindo um aviso prévio da sua autoria e as perguntas ao Governo, focaram a organização corporativa, o trabalho e a atuação do Instituto Nacional do Trabalho e Previdência sobre os sindicatos. Já na década de 1940 as suas conferências e iniciativas mereceram a atenção da polícia política. A sua atividade política foi retomada no final da década de 1950, com críticas inequívocas ao regime e à relação mantida entre a Igreja e o Estado Novo de Salazar. O manifesto sobre os serviços de repressão do regime valeu-lhe, tal como aos demais signatários, um processo-crime, do qual foi amnistiado.
Em 1951 assumiu funções como pároco da Igreja de Nossa Senhora da Encarnação, ao Chiado, em Lisboa. Nessa zona da capital, a prostituição assumia relevo no quadro das suas preocupações sociais e sucederam-se as iniciativas direcionadas para a reintegração social das mulheres que a ela se dedicavam. Em 1954 esteve envolvido na fundação da Obra de Recuperação de Raparigas do Instituto de Sant'Ana - Casa de Recuperação da Quinta do Bosque (Amadora), assumindo funções como assistente, à semelhança do que sucederia com a Liga Nacional Contra a Prostituição, cujos estatutos foram publicados em 1955. Em 1957 o Estado procedeu à demolição das casas de recuperação de raparigas, com Abel Varzim a transferir as iniciativas que lançara para a cidade do Porto, na Casa de Nossa Senhora – Rainha da Paz. Em outubro desse ano pediu dispensa das funções na paróquia da Encarnação.
Depois de Beja, Bélgica e Lisboa, regressou à sua região de origem. No norte do país, as suas preocupações mantiveram-se em torno de iniciativas de reintegração de prostitutas. Se o associativismo, os sindicatos, o movimento cooperativo e o desenvolvimento eram preocupações de longa data, após as tarefas paroquiais ainda se envolveu no lançamento da Sociedade Avícola do Minho (SAMI).
Faleceu em 20 de agosto de 1964.
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